Question

設a，b∈R，求證：
（1）(

a+b

2

)2≤

a2+b2

2

； 
（2）a²+b²+c²≥ab+bc+ac．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式可得a²+b²≥2ab，從而2（a²+b²）≥（a+b）²，即可得到結論；
（2）利用基本不等式可得a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，三式相加可得結論．

解答：證明：（1）∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，∴(

a+b

2

)2≤

a2+b2

2

；
（2）∵a²+b²≥2ab，c²+b²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ac，當且僅當a=b=c時等號成立

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．