Question

（2012•淮南二模）在數列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，n∈N₊．
（1）記b_n=（a_n-

1

2

）²，n∈N₊，求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）對?k∈N₊，是否總?m∈N₊使得a_n=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，可得b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，進而可得數列{b_n}是等差數列；           
（2）求出b_n=

1

4

+2（n-1）=2n-

7

4

，根據b_n=（a_n-

1

2

）²，a_n≥1，即可求{a_n}的通項公式；
（3）設?k∈N₊，總?m∈N₊使得a_m=k，可建立等式，從而求得m=

k(k-1)+2

2

，而k（k-1）總為偶數且非負，由此可得結論

解答：（1）證明：∵a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，
∴a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∴b_n+1-b_n=a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
∵a₁=1，b₁=（a₁-

1

2

）²=

1

4

∴數列{b_n}是以

1

4

為首項，2為公差的等差數列；           
（2）解：由（1）得b_n=

1

4

+2（n-1）=2n-

7

4

，∴（a_n-

1

2

）²=2n-

7

4

∵a_n≥1，∴a_n=

1

2

+

2n- 7 4

；
（3）解：設?k∈N₊，總?m∈N₊使得a_m=k，即

1

2

+

2m- 7 4

=k
整理得m=

k(k-1)+2

2

，而k（k-1）總為偶數且非負，
故m=

k(k-1)+2

2

滿足題意．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，確定數列的通項是關鍵．