Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為為參數，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．

求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；

若直線l與曲線C交于A，B兩點，求線段AB的中點P到坐標原點O的距離．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（I）將代入，即可得到直線的普通方程，利用極坐標與直角坐標的互化公式，即可得到曲線C的直角坐標方程；

（II）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，利用韋達定理和參數的幾何意義，即可求解點到原點的距離.

解：（I）將代入，整理得，

所以直線的普通方程為.

由得，

將，代入，

得，

即曲線的直角坐標方程為.

（II）設，的參數分別為，.

將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程得，

化簡得，

由韋達定理得，

于是.

設，則

則.

所以點到原點的距離為.