Question

【題目】已知，坐標平面上一點P滿足： 的周長為6，記點P的軌跡為.拋物線以為焦點，頂點為坐標原點O.

（Ⅰ）求， 的方程；

（Ⅱ）若過的直線與拋物線交于兩點,問在上且在直線外是否存在一點,使直線的斜率依次成等差數列,若存在,請求出點的坐標,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的方程為： ， 的方程為： .

（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）運用橢圓的定義進行求解；（2）依據題設條件建立直線的方程然后與橢圓方程聯立，運用交點坐標之間的關系分析求解：

解：（Ⅰ）依題意可知， 的周長為，由于，故，由于，故點P的軌跡為為以為焦點的橢圓的一部分，且，故，故的方程為： ， 的方程為： .

（Ⅱ）設，設直線的方程為： ，

由， ，

故，

又，

故，

，

故，

因為直線不經過點M，故，故或，

當時， 上除點外，均符合題意；

當時,則當時，橢圓上存在兩點和都符合條件.