Question

如圖所示,過拋物線y²=2px的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn).

(1)證明直線AB過定點(diǎn);

(2)求△AOB面積的最小值.

Answer 1

解：(1)設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).聯(lián)立方程

消去x得ky²-2py-2pak=0,

則y₁y₂=-2pa.又OA⊥OB.

∴y₁y₂=-x₁x₂.

由方程組消去y,得k²x²-(2k²a+2p)x+k²a²=0,則x₁·x₂=a².因此,a²=2pa.∴a=2p.

故直線AB過定點(diǎn)(2p,0).

(2)由(1)知:AB恒過定點(diǎn)M(2p,0).

∴S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=|OM|(|y₁|+|y₂|)≥p(2|).

又y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,

∴(y₁y₂)²=4p²x₁x₂.

又∵y₁y₂=-x₁x₂,

于是|y₁y₂|=4p².

故S_△AOB的最小值為4p².

綠色通道：

對于直線、曲線方程聯(lián)立求解,靈活運(yùn)用整體思想及韋達(dá)定理可簡化解答;另外應(yīng)注意圖形的有效利用.