Question

如圖，F為拋物線y²=2px的焦點，A（4，2）為拋物線內一定點，P為拋物線上一動點，且|PA|+|PF|的最小值為8．
（1）求該拋物線的方程；
（2）如果過F的直線l交拋物線于M、N兩點，且|MN|≥32，求直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖，設拋物線的準線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，由拋物線定義知當且僅當A，P，C三點共線取等號．由題意知|AC|=8，從而求得p值，最后寫出拋物線的方程；
（2）設直線l的方程為y=k（x-4），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值的范圍，從而解決問題．．

解答：解：（1）設P點到拋物線的準線x=-

p

2

的距離為d，
由拋物線的定義知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）_min=（|PA|+d）_min=

p

2

+4，
∴

p

2

+4=8⇒p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x．…（6分）
（2）由（1）得F（4，0），設直線l的方程為y=k（x-4），顯然k≠0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線方程代入拋物線，得k²x²-（8k²+16）x+16k²=0，
x₁+x₂=

8k2+16

k2

，x₁•x₂=16，
∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

( 8k2+16 k2 )2-64

=

1+k2

×

64k4+256k2+256-64k4

k2

=

1+k2

k2

×16

1+k2

=

16(1+k2)

k2

≥32，
∴k²≤1，即-1≤k≤1，
∴直線l斜率的取值范圍為[-1，0）∪（0，1]，
∴直線l傾斜角的取值范圍為：（0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）       …（13分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生分析問題和解決問題的能力．當研究直線與圓錐曲線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．