Question

設

a

，

b

是兩個不共線的向量，若

AB

=2

a

+k

b

，

CB

=

a

+3

b

，

CD

=2

a

-

b

，且A、B、D三點共線，則k=

-8

．

Answer 1

分析：利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出

DB

的坐標，把A、B、D三點共線轉化為

AB

=λ •

DB

，即 2

a

+k

b

=λ（-

a

+4

b

）=-λ

a

+4λ

b

，故有-λ=2，4λ=k，
解方程求得k的值．

解答：解：由題意可得

DB

=

DC

+

CB

=-（

CD

）+

CB

=（-2

a

+

b

）+

a

+3

b

=-

a

+4

b

．
∵A、B、D三點共線，
∴

AB

=λ •

DB

，
∴2

a

+k

b

=λ（-

a

+4

b

）=-λ

a

+4λ

b

．
故有-λ=2，4λ=k，解得 λ=-2，k=-8．
故答案為：-8．

點評：本題主要考查證明三點共線的方法，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量共線的性質，體現了轉化的數學思想，把A、B、D三點共線轉化為

AB

=λ •

DB

．