Question

已知f（x）=2x，數列{a_n}滿足a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，且a₁=1，則它的通項公式是（　　）

• A、a_n=

  3n2-7n+6

  2

• B、a_n=

  3n-2n+3

  4

• C、a_n=

  2n+1+n2-5n+2

  2

• D、a_n=3•2^n-1-2n

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：由f（x）=2x及a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，得a_n+1=2a_n+2n-2，設a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y），整理得a_n+1=2a_n+xn+y-x，易求x=2，y=0，從而可判斷{a_n+2n}為首項為a₁+2=3，公比為2的等比數列，進而可求答案．

解答：解：由f（x）=2x及a_n+1+f（n+1）=2[a_n+f（n+1）-2]，得a_n+1=2a_n+2n-2，
設a_n+1+x（n+1）+y=2（a_n+xn+y），整理得a_n+1=2a_n+xn+y-x，
∴x=2，y-x=-2，則y=0，
∴有a_n+1+2（n+1）=2（a_n+2n），即{a_n+2n}為首項為a₁+2=3，公比為2的等比數列，
∴a_n+2n=3•2^n-1，a_n=3•2^n-1-2n，
故選D．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項，屬中檔題，通過待定系數構造等比數列是該題的解題關鍵，要認真體會．