Question

（1）求證：當a≥1時，不等式e^x-x-1≤對于n∈R恒成立．
（2）對于在（0，1）中的任一個常數a，問是否存在x＞0使得e^x-x-1≤成立？如果存在，求出符合條件的一個x；否則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）：分x≥0和x＜0討論：（Ⅰ）在x≥0時，要使成立；（Ⅱ）在x≤0時，要使成立．利用導數研究函數的單調性，從而得到，原不等式在a≥1時，恒成立；
（2）先將變形為，要找一個X＞0，使此式成立，只需找到函數的最小值，滿足t（x）min＜0即可，對t（x）求導數，研究其單調性和最值，最后得出可找到一個常數x=-lna（0＜a＜1），使得不等式成立．
解答：解：（1）證明：（Ⅰ）在x≥0時，要使成立．
只需證：即需證：①
令，求導數
∴，又a≥1，求x≥0，故y'（x）≥0
∴y（x）為增函數，故y（x）≥y（0）=1，從而①式得證
（Ⅱ）在x≤0時，要使成立．
只需證：，即需證：②
令，求導數得m'（x）=-xe^-2x[e^x+a（x-1）]
而φ（x）=e^x+a（x-1）在x≤0時為增函數
故φ（x）≤φ（0）=1-a≤0，從而m（x）≤0
∴m（x）在x≤0時為減函數，則m（x）≥m（0）=1，從而②式得證
由于①②討論可知，原不等式在a≥1時，恒成立…（6分）
（2）解：將變形為③
要找一個X＞0，使③式成立，只需找到函數的最小值，
滿足t（x）min＜0即可，對t（x）求導數
令t'（x）=0得，則x=-lna，取X=-lna
在0＜x＜-lna時，t'（x）＜0，在x＞-lna時，t'（x）＞0t（x）在x=-lna時，取得最小值
下面只需證明：，在0＜a＜1時成立即可
又令，對p（a）關于a求導數
則，從而p（a）為增函數
則p（a）＜p（1）=0，從而得證
于是t（x）的最小值t（-lna）＜0
因此可找到一個常數x=-lna（0＜a＜1），使得③式成立   …（14分）
點評：利用導數工具討論函數的單調性，是求函數的值域和最值的常用方法，考查了分類討論的思想與轉化的思想．解決本題同時應注意研究導函數的單調性得出導數的正負，從而得出原函數的單調性的技巧．