Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（x＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函數(shù)的極值、端點(diǎn)處函數(shù)值，然后進(jìn)行比較即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的增區(qū)間，由題意可知[

1

2

，+∞）為增區(qū)間的子集，由此可得a的范圍；
（3）方程可變?yōu)?span id="qg0squa" class="MathJye">

1-x

2x

+lnx=m，則問題等價(jià)于函數(shù)g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數(shù)y=m的圖象在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的性質(zhì)、極值、端點(diǎn)處函數(shù)值，畫出草圖，借助圖象可得m的范圍；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，
所以當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值，且f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

，
所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

ax-1

ax2

，
因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，由定義域知x＞0，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

a

，+∞)，
又函數(shù)f（x）在[

1

2

，+∞)上為增函數(shù)，所以0＜

1

a

≤

1

2

，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
推得方程

1-x

2x

+lnx-m=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，即方程

1-x

2x

+lnx=m在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數(shù)y=m的圖象在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)．
考察函數(shù)g(x)=

1-x

2x

+lnx，g′(x)=-

1

2x2

+

1

x

=

2x-1

2x2

，則g（x）在區(qū)間[

1

e

，

1

2

]為減函數(shù)，在[

1

2

，e]為增函數(shù)，
則有：g(e)=

1-e

2e

+lne=

1-e

2e

+1=

1+e

2e

＞0，
g(

1

2

)=

1- 1 2

2× 1 2

+ln

1

2

=

1

2

-ln2＜0，
g（

1

e

）=

1- 1 e

2× 1 e

+ln

1

e

=

e-1

2

-1=

e-3

2

＜0＜g（e），
畫函數(shù)g(x)=

1-x

2x

+lnx，x∈[

1

e

，e]的草圖，要使函數(shù)g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數(shù)y=m的圖象在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
則要滿足g(

1

2

)＜m≤g(

1

e

)，
所以m的取值范圍為{m|

1

2

-ln2＜m≤

e-3

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想．