Question

如圖，ABCD是圓的內接四邊形，AB∥CD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，
證明：
（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；
（Ⅱ）BC²=BE•CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圓的內接四邊形的對角互補可得∠CAE=∠BDC，根據弦切角等于弧所對的圓周角得到∠ACE=∠ABC，以及內錯角相等可得∠DCB=∠ABC，從而得到△BDC相似于△EAC，從而得到結論；
（II）由（I）可得到∠BCE=∠BDC，而∠EBC=∠BCD，則△BDC∽△ECB，從而證得結論．

解答：解（I）∵ABCD是圓的內接四邊形，
∴∠CAE=∠BDC，
又∵EC與圓相切于點C，
∴∠ACE=∠ABC．
∵AB∥CD，所以∠DCB=∠ABC，
∴∠ACE=∠DCB，
故∠DBC=∠AEC----------（5分）
（II）∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC=∠CAE，
∴∠BCE=∠BDC．
又∵∠EBC=∠BCD，
∴△BDC∽△ECB，
即BC²=BE•CD

點評：本題主要考查了圓的內接四邊形的性質，以及三角形相似，同時考查了分析問題的能力．