Question

已知函數f（x）=2x³-x²+ax+b．
（1）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求參數a的取值范圍．
（2）若函數f（x）在x=1處取處極值，且x∈[-1，2]時，f（x）＜b²+b恒成立，求參數b  的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據切線與橫軸平行，對函數求導，使得到函數等于0有實根，得到關于一元二次方程的判別式，求出結果．
（2）由函數f（x）在x=1處取得極值，知x=1是方程f^′（x）=0的一個根，得到字母系數的值，求出兩一個根，求出函數的最值，進行比較．得到關于b的不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）∵f^′（x）=6x²-2x+a
∴方程f^′（x）=0有實根，（4分）
∴△=4-4×6a≥0，
∴a≤

1

6

  （2）由函數f（x）在x=1處取得極值，
知x=1是方程f^′（x）=0的一個根，
所以a=-4
∴方程f^′（x）=0的另一個根為-

2

3

∴當x＜-

2

3

或x＞1時，f^′（x）＞0，
當-

2

3

＜x＜1時，f^′（x）＜0，
∴f（x）有極大值

44

27

+b
而f（2）=4+b＞

44

27

+b＞f（-1）=1+b
∴當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值是4+b
∵f（x）＜b²+b恒成立，即有4+b＜b²+b成立
解得b＜-2或b＞2
∴參數b的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）

點評：本題考查函數的極值點應用，考查恒成立問題，解題的關鍵是構造不等式，整理出要用的結果，是一個綜合題目．