Question

（2012•深圳二模）已知二次函數f（x）的最小值為-4，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）=

f(x)

x

-4lnx的零點個數．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）是二次函數，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}，設出函數解析式，利用函數f（x）的最小值為-4，可求函數f（x）的解析式；
（2）求導數，確定函數的單調性，可得當0＜x≤3時，g（x）≤g（1）=-4＜0，g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0，由此可得結論．

解答：解：（1）∵f（x）是二次函數，且關于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）²-4]（a＞0）
∴f（x）_min=-4a=-4
∴a=1
故函數f（x）的解析式為f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

f(x)

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x2

x，g′（x），g（x）的取值變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調增加	極大值	單調減少	極小值	單調增加

當0＜x≤3時，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0
故函數g（x）只有1個零點，且零點x0∈(3，e5)

點評：本題主要考查二次函數與一元二次不等式的關系，函數零點的概念，導數運算法則、用導數研究函數圖象的意識、考查數形結合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力．