Question

已知向量

p

=(x，a-3)，

q

=(x，x+a)，f(x)=

p

•

q

，且m，n是方程f（x）=0的兩個實根．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設g（a）=m³+n³+a³，求g（a）的最小值；
（Ⅲ）給定函數h（x）=bx+1（b＞0），若對任意的x₀∈[2，3]，總存在x₁∈[1，2]，使得g（x₀）=h（x₁），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積運算和一元二次方程實數根與△的關系即可得出；
（II）利用根與系數的關系，g（a）轉化為關于a的函數，利用導數研究函數的單調性即可得出；
（III）利用（II）求出函數g（x）在x∈[2，3]的值域A，在求出h（x）在x∈[1，2]的值域B，則A⊆B即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：f(x)=

p

•

q

=x2+(a-3)x+a2-3a，
∵m、n是方程f（x）=0的兩個實根，
∴△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0，
∴-1≤a≤3．
（Ⅱ）由題意知：

m+n=3-a m•n=a2-3a

，
∴g（a）=m³+n³+a³=（m+n）[（m+n）²-3mn]+a³=（3-a）[（3-a）²-3（a²-3a）]+a³=3a³-9a²+27，a∈[-1，3]，
故g'（a）=9a²-18a，
令g'（a）=0，∴a=0或a=2，
從而在[-1，0），（2，3]上g'（a）＞0，g（a）為增函數，
在（0，2）上g'（a）＜0，g（a）為減函數，
∴a=2為極小值點，∴g（2）=15，又g（-1）=15．
∴g（a）的最小值為15．
（Ⅲ）當x₀∈[2，3]時，g（x₀）∈[15，27]，
x₁∈[1，2]時，h（x₁）∈[b+1，2b+1]．
由題意知[15，27]⊆[b+1，2b+1]，
∴

b+1≤15 2b+1≥27

，∴13≤b≤14．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、一次函數的單調性、一元二次方程的解集與根與系數的關系是解題的關鍵．