Question

一條直角走廊寬 1.5米，如圖所示，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的手推車，其平板面為矩形ABCD，寬AD為1米，延長(zhǎng)AB交直角走廊于A₁、B₁，設(shè)∠CDE₁=θ，
（1）證明：A₁B₁=1.5（

1

sinθ

+

1

cosθ

）．
（2）求A₁B₁的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中直角走廊寬為1.5m，轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板手推車，寬為1m，我們?cè)O(shè)AB所在直線與走廊外輪廓線交于點(diǎn)A₁、B₁，根據(jù)A₁B ₁=A₁O+OB₁，可證；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，及最值，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意A₁B ₁=A₁O+OB₁，
∵一條直角走廊寬 1.5米，∠CDE₁=θ，
∴A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，
（2）求導(dǎo)函數(shù)得A1B1 /=1.5×

sin3θ-cos3θ

sin2θcos2θ

令導(dǎo)數(shù)為0，可得tanθ=1，∴θ=

π

4

又函數(shù)在（0，

π

4

）上單調(diào)減，在（

π

4

，

π

2

）上單調(diào)增
∴θ=

π

4

時(shí)冪函數(shù)取極小值，且為最小值
此時(shí)A₁B₁的最小值為3

2

點(diǎn)評(píng)：本題的考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)模型的選擇，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．