Question

已知函數f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且在區間[3，7]上是增函數，在區間[4，6]上的最大值為1007，最小值為-2，則2f（-6）+f（-4）=（　　）

A．-2012

B．-2011

C．-2010

D．2010

Answer 1

分析：先令x=y=0求得f（0）=0，再令y=-x，求得f（x）+f（-x）=0，從而判斷函數f（x）為奇函數；利用奇函數在區間[3，7]上是增函數，在區間[4，6]上的最大值為1007，最小值為-2，即可求得2f（-6）+f（-4）的值．

解答：解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
故f（x）+f（-x）=0，
所以函數f（x）為奇函數．
由函數f（x）在區間[3，7]上是增函數，可知函數f（x）在區間[4，6]上也是增函數，
故最大值為f（6）=1007，最小值為f（4）=-2．
而f（-6）=-f（6）=-1007，f（-4）=-f（4）=2，
所以2f（-6）+f（-4）=2×（-1007）+2=-2012．
故選A

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法的應用，突出函數奇偶性與單調性的綜合應用，考查分析與推理、運算能力，屬于中檔題．