Question

已知L為過點P且傾斜角為30°的直線，圓C為圓心是坐標原點且半徑等于1的圓，Q表示頂點在原點而焦點是的拋物線，設A為L和C在第三象限的交點，B為C和Q在第四象限的交點．
（1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖．
（2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數表達式．
（3）設P′、B′依次為從P、B到x軸的垂足，求由圓弧AB和直線段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意代入點斜式求直線方程，代入標準式求圓的方程和拋物線的方程；
（2）分別聯立直線、圓和拋物線的方程，求出交點的橫坐標，再通過圖形表示出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數表達式，注意范圍；
（3）先作出圖形再把圖形進行分割，再由（2）求的點A、B的坐標求每一部分的面積，最后再求和．
解答：解：（1）由題意知，直線L的方程為y+=（x+），即y=x；
圓C的方程為x²+y²=1，拋物線Q的方程為
草圖為：
（2）由，解得A點橫坐標．
∴線段PA的函數表達式為：
由，解得B點橫坐標．
∴圓弧AB的函數表達式為：
∴拋物線上OB一段的函數表達式為：．
（3）如下圖所求的面積為圖中陰影部分，
由（2）和題意知，P'點的橫坐標為-和點P，
∴
∵A點橫坐標，B點橫坐標，∴∠AOB==，
∴扇形OAB的面積為
∴所求面積（圖中陰影部分）．

點評：本題涉及的內容多且層次分明，考查了求直線方程、圓的方程和拋物線的方程，還把幾何圖形和函數聯系在一起，是一道新穎的直線與圓錐曲線綜合強的題．