Question

為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數據的列聯表：藥物效果試驗列聯表

工作人員曾用分層抽樣的方法從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗．知道其中患病的有2只．
（1）求出列聯表中數據x，y，M，N的值；
（2）通過所給的數據判斷藥物是否有效；
（3）能夠以97.5%的把握認為藥物有效嗎？
參考數據：

Answer 1

分析：（1）用分層抽樣的方法，從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗，其中患病的有2只，這樣可以列出比例式，求出x的值，根據列聯表中各個數據的關系，得到另外三個值．
（2）從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗．知道其中患病的有2只，得到服藥的又患病的概率，從中抽取兩個人變量表示患病的人數，ξ取值為0，1，2，結合變量對應的事件得到分布列和患病的期望．同理做出不服藥患病的期望，兩個期望進行比較，得到藥物有效的結論．
（3）根據列聯表中的數據代入求觀測值的公式，做出觀測值，把所得的觀測值同參考數據進行比較，發現4.76＜5.204，得到沒有97.5%的把握認為藥物有效．

解答：解：（1）∵用分層抽樣的方法，
從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗，其中患病的有2只，
∴

2

10

=

x

50

，
∴x=10，
∴y=50-10=40，
∴M=20+10=30，N=30+40=70，
即x=10，y=40，M=30，N=70．
（2）從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗．知道其中患病的有2只，
得到服藥的又患病的概率，從中抽取兩個人變量表示患病的人數，
ξ取值為0，1，2，
P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 50

=

38

245

，P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 30

C 2 50

=

120

245

，P（ξ=2）=

C 2 30

C 2 50

=

87

245

，

Eξ=

294

245

，
P（η=0）=

C 2 10

C 2 50

=

9

245

，P（η=1）=

C 1 10 C 1 40

C 2 50

=

80

245

P（η=2）=

C 2 40

C 2 50

=

156

245

•Eη=

392

245

•∴Eξ＜Eη說明藥物有效
（3）由表格可以得到
∵K2=

100(800-300)2

30×70×50×50

≈4.76＜5.204
由參考數據知不能夠以97.5%的把握認為藥物有效．

點評：本題考查獨立性檢驗的列聯表，考查獨立性檢驗的觀測值，考查判斷服藥對于患病是否有效，是一個綜合題，這種問題只有個別的省份作為高考題出現過，要引起注意．