Question

（2013•杭州一模）已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極小值；
（Ⅱ）當a=-1時，過坐標原點O作曲線y=f_（x）的切線，設切點為P（m，n），求實數m的值；
（Ⅲ）設定義在D上的函數y=g（x）在點P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x），當x≠x₀時，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=g（x）的“轉點”．當a=8時，試問函數y=f_（x）是否存在“轉點”．若存在，請求出“轉點”的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入可得函數的導數，進而可得單調區間，可得極小值；
（Ⅱ）把a=-1代入，可得切線斜率，由斜率公式還可得斜率，由等式可得m=1是唯一的實數解；
（Ⅲ）針對新定義，構造函數F（x）=f（x）-h（x），求其導數，分0＜x₀＜2，x₀＞2，x₀=2三種情況進行討論，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，…2分
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0；當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
所以當x=1時，函數f（x）取極小值f（1）=-2，…5分；
（Ⅱ）當a=-1時，f′（x）=2x-1-

1

x

（x＞0），所以切線的斜率
k=2m-1-

1

m

=

2m2-m-1

m

=

n

m

=

m2-m-lnm

m

，整理可得m²+lnm-1=0，
顯然m=1是方程的解，又因為函數y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數，
所以方程有唯一的實數解，即m=1，…10分；
（Ⅲ）當a=8時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，y₀）處的切線方程為：
h（x）=(2x0+

8

x0

-10)(x-x0)+x02-10x0+8lnx0，
設F（x）=f（x）-h（x），則F（x₀）=0，F′（x）=f′（x）-h′（x）
=（2x+

8

x

-10）-（2x0+

8

x0

-10）=

2

x

（x-x₀）（x-

4

x0

）
若0＜x₀＜2，F（x）在（x₀，

4

x0

）上單調遞減，所以當x∈（x₀，

4

x0

）時，
F（x）＜F（x₀）=0，此時

F(x)

x-x0

＜0，
若x₀＞2，F（x）在（

4

x0

，x₀）上單調遞減，所以當x∈（

4

x0

，x₀）時，
F（x）＞F（x₀）=0，此時

F(x)

x-x0

＜0，
所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“轉點”，
若x₀=2時，F′（x）=

2

x

(x-2)2，即F（x）在（0，+∞）上是增函數，
當x＞x₀時，F（x）＞F（x₀）=0，當x＜x₀時，F（x）＜F（x₀）=0，
故點P（x₀，f（x₀））為“轉點”，
故函數y=f（x）存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標，…15分

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，涉及新定義，屬中檔題．