Question

已知四邊形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=3BC=3，AB=2
（1）求點D到平面PAC的距離；
（2）若點M分

PA

的比為2，求二面角M-CD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）先過D作DQ⊥AC于點Q，由線面垂直的性質定理得PA⊥DQ從而DQ⊥平面PAC，結合三角形中的面積法即可求出D到平面PAC的距離；
（2）過A作AK⊥DC于K點，連MK，由PA⊥平面ABCD，結合線面垂直的性質得出：MK⊥CD，從而有∠MKA為M-CD-A的平面角，利用解三角形即可求出tan∠MKA．

解答：解：（1）過D作DQ⊥AC于點Q，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ（1分）
∴DQ⊥平面PAC（2分）
∴又由S△ACD=

1

2

AD•AB=

1

2

AC•DQ，
AC=

AB2+BC2

=

5

（4分）
∴DQ=

AD•AB

AC

=

3•2

5

=

6 5

5

（5分）
∴D到平面PAC的距離為

6 5

5

．（7分）
（2）過A作AK⊥DC于K點，連MK∵PA⊥平面ABCD，∴MK⊥CD
∴∠MKA為M-CD-A的平面角（10分）
∵PA=AD=3，又

PM

MA

=2，∴PM=2，MA=1．在△ACD中，由面積相等，
得AD•AB=CD•AK，又CD=2

2

，
∴AK=

AD•AB

CD

=

3

2

2

，∴tan∠MKA=

MA

AK

=

2

3

．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直，二面角，點的平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．