Question

 

如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點．

（1）設為橢圓的左焦點，證明：當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值；

（2）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標準方程；

（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且滿是，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時取得最小值與最大值．

（注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標準方程為．                                 （6分）

（3）設，聯立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當時，的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾．

當時，的方程為，直線過定點（，0），    （11分）

∴直線過定點，定點坐標為（，0）．                           （12分）