Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t為常數）；l₂：x=2．若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求a、b、c的值．
（2）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由圖知（0，0）和（8，0）在函數圖象上，以及f（x）的最大值為16，代入函數解析式和頂點的縱坐標，列出方程組求出a、b、c的值；
（2）由圖知先求出聯立直線l₁與f（x）的方程，求出它們圖象的交點坐標，再根據定積分的幾何意義求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值為16
則

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x
（2）由

y=-t2+8t y=-x2+8x

得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（t，-t²+8t）
由定積分的幾何意義知：S(t)=

∫

t 0

[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+

∫

2 t

[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx
=[(-t2+8t)x-(-

x3

3

+4x2)] |_t+[(-

x3

3

+4x2)-(-t2+8t)•x] 

|

2 t

=-

4

3

t3+10t2-16t+

40

3

．

點評：本題考查了由圖象求函數的解析式和陰影部分的面積，即根據點在圖象上則點的坐標滿足方程求解析式，用定積分求面積時應先求出交點的坐標，考查了讀圖能力和數形結合思想．