Question

如圖，在矩形ABCD中，AB>·AD，E為AD的中點，連結EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，連結FC.設＝k，是否存在實數k，使△AEF、△ECF、△DCE與△BCF都相似？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

假設存在實數k的值，滿足題設．
①先證明△AEF∽△DCE∽△ECF.因為EF⊥EC，
所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.
而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.
故得.又DE＝EA，所以.
又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.
②再證明可以取到實數k的值，使△AEF∽△BCF，
由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，
因此要使△AEF∽△BCF，應有∠AFE＝∠BFC，
此時，有，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.
由△AEF∽△DCE，可知，
因此，AB²，所以，求得k＝.
可以驗證，當k＝時，這四個三角形都是有一個銳角等于60°的直角三角形，故它們都相似．