Question

若函數f（x）=4×9^-|x-2|-2（P-2）×3^-|x-2|-2P²-P+1在區間[2，+∞）內至少存在一個實數c使f（c）＞0，則實數P的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：用還原法得到函數g（t）=4t²-2（p-2）t-2p²-p+1，t∈（0，1]，原題等價于在區間（0，1]內至少存在一個實數c使g（c）＞0，因為g（t）圖象開口向上所以只要g（1）或者g（0）大于0即可．

解答：解：設t=3^-|x-2|因為x∈[2，=∞）所以t∈（0，1]
所以g（t）=4t²-2（p-2）t-2p²-p+1，t∈（0，1]
所以原題等價為：在區間（0，1]內至少存在一個實數c使g（c）＞0
∵g（t）圖象開口向上
∴只要g（1）或者g（0）大于0即可
所以

g(1)=4-2(p-2)-2p2-p+1＞0 g(0)=-2p2-p+1＞0

解得-3＜x＜

3

2

所以實數P的取值范圍是（-3，3/2）．
故答案為：（-3，3/2）．

點評：此類題目的解決方法可以從正面入手，對于“至少存在…”類似的問題可先做它的反面，即假設二次函數在區間（0，，1]內均小于等于0，取結果的補集即可答案．