Question

【題目】在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分別為PD，CD，AD的中點， =3 ．

（1）證明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BD，分別交AC、MN于點O，G，連結(jié)EO、FG，

∵O為BD中點，E為PD中點，∴EO∥PB，

又 =3 ，∴F為ED中點，又CM=MD，AN=DN，∴G為OD的中點，

∴FG∥EO，∴PB∥FG，

∵FG平面FMN，PB平面FMN，

∴PB∥平面FMN．

（2）解：∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，

∴PA⊥平面ABCD，

如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=AB=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），

則 =（2，2，0）， =（0，1，1），

平面ABCD的一個向向量 =（0，0，1），

設(shè)平面AEC的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，1），

∴cos＜ , ＞= = ，

由圖知二面角E﹣AC﹣B為鈍角，

∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）連結(jié)BD，分別交AC、MN于點O，G，連結(jié)EO、FG，推導(dǎo)出EO∥PB，F(xiàn)G∥EO，PB∥FG，由此能證明PB∥平面FMN．（2）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．