【題目】如圖， 
平面
， 
平面
， 
是等邊三角形， 
，
是
的中點.
（1）求證： 
；
（2）若直線
與平面
所成角的正切值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：⑴證明
， 
，推出
平面
，然后證明
；
⑵以點
為坐標原點， 
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，過
且與直線
平行的直線為
軸，建立空間直角坐標系
，說明
為直線
與平面
所成角，設
，求出相關點的坐標，求出平面
與平面
的法向量，利用空間向量的數量積求解即可；
解析：（1）因為
是等邊三角形， 
是
的中點，所
.
因為
平面
， 
平面
，所以
.
因為
，所以
平面
.
因為
平面
，所以
.
（2）法1：以點
為坐標原點， 
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，過
且與直線
平行的直線為
軸，建立空間直角坐標系
.
因為
平面
，所以
為直線
與平面
所成角.
得
，即
，從而
.
不妨設
，又
，則
， 
.故
， 
，
， 
.于是
，
， 
， 
，設平面
與平面
的法向量分別為
， 
，由
得
令
，得
，
所以
.由
得
令
得
， 
.所以
.
所以
.
所以二面角
的余弦值為
.
法2：因為
平面
，所以
為直線
與平面
所成角.
由題意得
，即
，從而
.
不妨設
，又
， 
， 
， 
.
由于
平面
， 
平面
，則
.
取
的中點
，連接
，則
.
在
中， 
，
在
中， 
，
在
中， 
，
取
的中點
，連接
， 
， 
，
則
， 
. 所以
為二面角
的平面角.
在
中， 
，在
中， 
，
在
中， 
，因為
，
所以
.所以二面角
的余弦值
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學隨機選取了
名男生，將他們的身高作為樣本進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖中數據，完成下列問題．
（
）求
的值及樣本中男生身高在
（單位：
）的人數．
（
）假設用一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，通過樣本估計該校全體男生的平均身高．
（
）在樣本中，從身高在
和（單位：）內的男生中任選兩人，求這兩人的身高都不低于
的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是
，則點M的軌跡C的方程是___________．若點
為軌跡C的焦點，
是直線
上的一點，
是直線
與軌跡
的一個交點，且
，則
_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）
平均每天鍛煉的時間/分鐘 |
|
|
|
|
|
|
總人數 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學生日均課外體育鍛煉時間在
的學生評價為“課外體育達標”.
（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面的
列聯表；
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
（2）通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為“課外體育達標”性別有關？
參考公式
,其中
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，且
，若以
為左右焦點的橢圓
經過點
.
（1）求的標準方程；
（2）設過右焦點且斜率為
的動直線與相交于
兩點，探究在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，試求出定值和點的坐標；若不存在，請說明理由.
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