【題目】某廠根據市場需求開發三角花籃支架（如圖），上面為花籃，支架由三根細鋼管組成，考慮到鋼管的受力和花籃質量等因素，設計支架應滿足：①三根細鋼管長均為1米（粗細忽略不計），且與地面所成的角均為
；②架面與架底平行，且架面三角形
與架底三角形
均為等邊三角形；③三根細鋼管相交處的節點
分三根細鋼管上、下兩段之比均為
.定義：架面與架底的距離為“支架高度”，架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.
（1）當
時，求“支架高度”；
（2）求“支架需要空間”的最大值.
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【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，
，
，二面角S-BD-C的余弦值為
．
（I）證明：平面
平面SBD；
（Ⅱ）求二面角A-SD-C的余弦值．
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【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，側面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，點M是SA的中點，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝AD
BC＝a．
（1）求證：平面MBD⊥平面SCD；
（2）若∠SDC＝120°，求三棱錐C﹣MBD的體積．
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【題目】已知直線
：
，半徑為2的圓
與相切，圓心在
軸上且在直線的右上方.
（1）求圓的方程；
（2）過點
的直線與圓交于
，
兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點
，使得軸平分
？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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【題目】在四棱錐P-ABCD，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面
平面
，
于點O，
，點E在棱PB上，
.
（1）當
時，求直線AE與平面PCD所成角的正弦值；
（2）若二面角B-PC-D的余弦值為
，求PO的長.
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【題目】如果對某對象連續實施兩次變換后的結果就是變換前的對象，那么我們稱這種變換為“回歸”變換.如：對任意一個實數，變換：取其相反數.因為相反數的相反數是它本身，所以變換“取實數的相反數”是一種“回歸”變換.有下列3種變換：
①對
，變換：求集合A的補集；
②對任意
，變換：求z的共軛復數；
③對任意
，變換：
（k，b均為非零實數）.
其中是“回歸”變換的是______.
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【題目】《易經》是中國傳統文化中的精髓，如圖是易經八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（"
"表示一根陽線，"
"表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.
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【題目】如圖，在四棱錐
中，已知四邊形
是邊長為
的正方形，點
在底面上的射影為底面的中心點
，點
在棱
上，且
的面積為1．
（1）若點是的中點，求證：平面
平面
；
（2）在棱上是否存在一點使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
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【題目】眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調整眼及頭部的血液循環，調節肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.
（1）若直方圖中后三組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以上的人數；
（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調查，得到下表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系？
（3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數為X，求X的分布列和數學期望.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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