Question

（本題滿分12分）
四個紀念幣A、B、C、D，投擲時正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

紀念幣	A	B	C	D
概率	1/2	1/2	a	a

這四個紀念幣同時投擲一次，設ξ表示出正面向上的個數。
（1）求概率p(ξ)
（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）為最大時，a的取值范圍。
（3）求ξ的數學期望。

Answer 1

a∈[]  ,2a+1

解：
（1）p(ξ個正面向上，4-ξ個背面向上的概率，其中ξ可能取值為0，1，2，3，4。
∴p(ξ="0)=" (1-)2(1-a)2=(1-a)2
p(ξ="1)=" (1-)(1-a)2+(1-)2·a(1-a)= (1-a)
p(ξ="2)=" ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2· a²=(1+2a-2 a²)
p(ξ="3)=" ()2a(1-a)+ (1-) a²=
p(ξ="4)=" ()2 a²=a²              ……………………………………5分
(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ="1)" ＜p(ξ=1),p(ξ="4)" ＜p(ξ=3)
則p(ξ="2)-" p(ξ="1)=" (1+2a-2 a²)- =－≥0
由
，即a∈[]                ……………………9分
（3）由（1）知ξ的數學期望為
Eξ=0×（1-a）2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a²)+3×+4×=2a+1………………12分