Question

已知方程（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y+6-2m=0（m∈R）．
（1）求該方程表示一條直線的條件；
（2）當m為何實數時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；
（3）已知方程表示的直線l在x軸上的截距為-3，求實數m的值；
（4）若方程表示的直線l的傾斜角是45°，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）當x，y的系數不同時為零時即可
（2）由2m²+m-1=0，再結合（1）可求得m的值，從而可求得這時的直線方程；
（3）利用

2m-6

m2-2m-3

=-3，再結合（1）可求得m的值；
（4）依題意，可求得直線l的斜率，從而可求得實數m的值．

解答：解：（1）當x，y的系數不同時為零時，方程表示一條直線，
令m²-2m-3=0，解得m=-1，m=3；
令2m²+m-1=0，解得m=-1，m=

1

2

．
∴方程表示一條直線的條件是：m∈R，且m≠-1．
（2）由（1）易知，當m=

1

2

時，方程表示的直線的斜率不存在，
此時的方程為：x=

4

3

，它表示一條垂直于x軸的直線．
（3）依題意，有

2m-6

m2-2m-3

=-3，
∴3m²-4m-15=0，
∴m=3或m=-

5

3

，由（1）易知，所求m=-

5

3

；
（4）∵直線l的傾斜角是45°，
∴其斜率為1，
∴-

m2-2m-3

2m2+m-1

=1，解得m=

4

3

或m=-1（舍去）．
∴直線l的傾斜角是45°時，m=

4

3

．

點評：本題考查直線的方程，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．