Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P．
（i）若，求直線的斜率；
（ii）求證：是定值．

Answer 1

見解析
【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)，直線方程，兩點(diǎn)間的距離公式。

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解。
（2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解
解：（1）由題設(shè)知，，由點(diǎn)在橢圓上，得
，∴。
由點(diǎn)在橢圓上，得

∴橢圓的方程為。
（2）由（1）得，，又∵∥，
∴設(shè)、的方程分別為，。
∴。
∴。①
同理，。②
（i）由①②得，。解得=2。
∵注意到，∴。
∴直線的斜率為。
（ii）證明：∵∥，∴，即。
∴。
由點(diǎn)在橢圓上知，，∴。
同理。。
∴
由①②得，，，
∴。
∴是定值。