Question

（2009•崇明縣一模）某農產品去年各季度的市場價格如下表：

季 度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每噸售價（單位：元）	191.5	207.5	202.5	198.5

今年某公司計劃按去年市場價格的“平衡價m”（平衡價m是這樣的一個量：m與去年各季度售價差的平方和最小）收購該種農產品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點），預測可收購a萬噸．政府為了鼓勵收購公司多收購這種農產品，決定將稅率降低x個百分點，預測收購量可增加2x個百分點．
（1）估算m的值（元/噸），并用所學數學知識說明你獲得結果的依據；
（2）寫出稅收y（萬元）與x的函數關系式；
（3）若要使此項稅收在稅率調節后不少于原計劃稅收的74.2%，試確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據平衡價的定義：m與去年各季度售價差的平方和最小，即使（m-195.5）²+（m-200.5）²+（m-204.5）²+（m-199.5）²最小，展開后配方可得，m取四個季度的市場價格的平均數即可；
（2）先寫出降低稅率后的稅率及農產品的收購量、收購總金額，從而進一步寫出故稅收y（萬元）與x的函數關系式即得；
（3）依題意得出關于x的一元二次不等式，再解此二次不等式即可得x的取值范圍．從而問題解決．

解答：解：（1）根據平衡價的定義有：

(m-191.5)2+(m-207.5)2+(m-202.5)2+(m-198.5)2 =4(m-200)2-191.52-207.52-202.52-198.52

∴m=200
由上可知，m取四個季度的市場價格的平均數時，m與去年各季度售價差的平方和最小．
（2）降低稅率后的稅率為（10-x）%，
農產品的收購量為a（1+2x%）萬噸，
收購總金額為200a（1+2x%）
故y=200a（1+2x%）（10-x）%=20010000a（100+2x）（10-x）
=150a（100+2x）（10-x）（0＜x＜10）（0≤x≤10）
（3）200×a（1+2x%）（10-x）%≥200×a×10%×74.2%
所以0≤x≤3

點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查構造二次函數模型，函數解析式求解，同時考查配方法及解不等式，要注意自變量的實際取值范圍．