Question

已知[x）表示大于x的最小整數，例如[3）=4，[-1.3）=-1，定義f（x）=[x）-x，則下列命題中正確的是（　　）
①[x）+[y）≤x+y；
②函數f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
③f（x）為R上的奇函數，且f（x）為周期函數；
④若x∈（1，2015），則方程[x)-x=

1

2

有2014個根．

• A、②④
• B、③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：①，令x=3，y=-1.3，根據“[x）表示大于x的最小整數”，判斷①即可；
②，分“當x為整數時”與“當x不為整數時”討論，依據“[x）”的含義，判斷②即可；
③，當x為整數時，-x也是整數，f（-x）=f（x）=1，判斷③即可；
④，利用周期函數的概念可判斷出f（x）為1為周期的函數，并求出當x∈[0，1）時，f（x）=[x）-x=1-x，作出函數圖象，判斷④即可．

解答： 解：對于①，令x=3，y=-1.3，則[x）+[y）=[3）+[-1.3）=4-1=3，x+y=3+（-1.3）=1.7，[x）+[y）＞x+y，故①錯誤；
對于②，當x為整數時，f（x）=[x）-x=（x+1）-x=1；
當x不為整數時，f（x）=[x）-x∈（0，1）；
所以，函數f（x）=[x）-x的值域是（0，1]，故②正確；
對于③，當x為整數時，-x也是整數，f（-x）=f（x）=1，不是奇函數，故③錯誤；
對于④，因為f（x+1）=[x+1）-（x+1）=（[x）+1）-（x+1）=[x）-x=f（x），
所以，f（x）為1為周期的函數，
又當x=0時，f（x）=1，當x∈（0，1）時，f（x）=[x）-x=1-x，
故其圖象如下：

當x∈（1，2015），直線y=

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2

與f（x）=[x）-x有2014個交點（每個周期一個，有2014個周期），
則方程[x)-x=

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2

有2014個根，故④正確．
綜上所述，命題中正確的是②④，
故選：A．

點評：本題考查新定義“[x）”的理解與應用，著重考查函數的周期性、奇偶性、單調性與值域，理解“[x）”的含義是關鍵，考查轉化思想與作圖能力，是難題．