Question

【題目】已知橢圓 C： =1（ a＞b＞0）經過點 （1， ），離心率為 ，點 A 為橢圓 C 的右頂點，直線 l 與橢圓相交于不同于點 A 的兩個點P （x1 ， y1），Q （x2 ， y2）．
（Ⅰ）求橢圓 C 的標準方程；
（Ⅱ）當 =0 時，求△OPQ 面積的最大值；
（Ⅲ）若直線 l 的斜率為 2，求證：△APQ 的外接圓恒過一個異于點 A 的定點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = ，即c2= a2 ， 即b2=a2﹣c2= a2 ， a2=4b2 ，
將點 （1， ）代入橢圓方程 ，即 ，解得：b2=1，
∴a2=4，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，設l：x=m，代入橢圓方程 ，
P（m， ），Q（m，﹣ ），
由 =0，（m﹣2）2﹣（1﹣ ）=0，解得：m= ，m=2（舍去），
此時丨PQ丨= ，△OPQ的面積為 ，
當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，代入橢圓方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，
由△＞0，則4k2﹣m2+1＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
由 =0，
（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（k2+1）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，
代入求得12k2+5m2+16km=0，
即m=﹣ k，m=﹣2k，（此時直線l過點A，舍去），
丨PQ丨= = ，
點O到直線l的距離d= ，
△OPQ的面積為 ，將m=﹣ k代入，
× ＜ ，
△OPQ 面積的最大值 ；
（Ⅲ）證明：設直線y=2x+m，代入橢圓方程，整理得：17x2+16mx+4（m2﹣1）=0，
設△△APQ的外接圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
聯立直線l的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）=0，
代入可知 = = ，
由外接圓過點A（2，0），則2D+F=﹣4，
從而可得關于D，E，F的三元一次方程組，
，解得： ，
代入橢圓方程，整理得：（x2+y2﹣ x+ y﹣ ）+ （2x+y﹣4）=0，
∴ ，解得： ，或 ，
△APQ 的外接圓恒過一個異于點A的定點（ ， ）
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率，求得a和b的關系，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）當斜率不存在時，求P和Q點坐標，由 =0，求得m的值，求得丨PQ丨求得，△OPQ的面積，當斜率存在時，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式及三角形的面積公式，即可求得△OPQ 面積的最大值；（Ⅲ）設直線y=2x+m，代入橢圓方程，設外接圓的方程，聯立直線l的方程，將A代入外接圓方程，聯立方程，即可求得△APQ 的外接圓恒過一個異于點 A 的定點．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．