Question

已知拋物線
（1）若求該拋物線與軸公共點的坐標；
（2）若且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍；
（3）若且時，時，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，說明理由.

Answer 1

（1）和 （2）當 或 時，拋物線在時與軸有且只有一個公共點. (3)當時，拋物線與軸有兩個公共點.

本題考查了求二次函數的解析式等相關的知識，同時還滲透了分類討論的數學思想，是一道不錯的二次函數綜合題．
（1）將a、b、c的值代入拋物線后求得解析式，令y=0求出x的值就是交點坐標的橫坐標；
（2）根據其在此范圍內有一個交點，此時將兩個值代入，分別大于零和小于零，進而求出相應的取值范圍．
（3）因為由題意可得，當時，即當時，
結合可得，
因為  ，所以 分析得到a,b的符號，然后結合判別式判定交點問題。
解：（1）當拋物線為
令解得，
所以，拋物線與軸的公共點的坐標為和  ……2分
（2）當時，拋物線為.
令，解之，得.
①若拋物線與軸只有一個公共點，由題意，
可得解之，得
②若拋物線與軸有兩個公共點，由題意，可得
或
所以，或故.
綜上所述，當 或 時，
拋物線在時與軸有且只有一個公共點.                  ……..8分
(3)由題意可得，當時，即當時，
結合可得，
因為  ，所以 
又    ，   所以             ……10分
令 即 所以，此方程的判別式為 
因為  所以 所以 
因為 所以 故 
所以 拋物線與軸有且只有兩個不同的交點.                  ……….13分
因為，所以拋物線的頂點的縱坐標小于零。
因為   所以 
因為 拋物線的對稱軸為所以
又當時，時，所以當時，
拋物線與軸有兩個公共點.                          ……16分