Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，求{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）若a₁=a₂=1，求S₅₀．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，根據條件求出首項和公差，即可求{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）根據數列的遞推關系，得到a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，即可求出S₅₀．

解答： 解：（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，設公差為d，
當n=1時，S₁+S₂+S₃=6a₁+4d=4，即3a₁+2d=2，
當n=2時，S₂+S₃+S₄=22，即9a₁+10d=22，
解得a₁=-2，d=4，
即{a_n}的通項公式a_n=4n-6．
（Ⅱ）∵S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．①
∴當n≥2時，S_n-1+S_n+S_n+1=6（n-1）²-2（n∈N^*）．②
①-②得a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，（n≥2），
則S₅₀=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₄₈+a₄₉+a₅₀）=2+[（12×3-6）+（12×6-6）+…+（12×48-6）]
=2+[36×（1+2+…+16）-6×16]
=2+36×136-96=4802．

點評：本題主要考查遞推數列的應用以及等差數列的應用，考查學生運算能力．