Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

（Ⅱ）求函數f(x)單調區間.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x﹣y+1＝0．（Ⅱ）當a＝0時，單調遞增區間是（﹣∞，0），單調遞減區間是（0，+∞）．當0＜a＜1時，單調遞增區間是和，單調遞減區間是．當a≥1時，單調遞增區間是（﹣∞，+∞），無減區間．當﹣1＜a＜0時，單調遞減區間是和，單調遞增區間．當a≤﹣1時，單調遞減區間是（﹣∞，+∞），無增區間．

【解析】

（I）先求導數f'（x），利用導數求出在x＝0處的導函數值，即為切線的斜率，則可得出切線方程．

（II）對字母a進行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數的單調增區間，令導數小于0，可得函數的單調減區間．

因為，所以．

（Ⅰ）當a＝1時，，，

所以f（0）＝1，f'（0）＝1．

所以曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x﹣y+1＝0．

（Ⅱ）因為，

（1）當a＝0時，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．

所以函數f（x）在區間（﹣∞，0）單調遞增，在區間（0，+∞）單調遞減．

（2）當a≠0時，設g（x）＝ax2﹣2x+a，方程g（x）＝ax2﹣2x+a＝0的判別式△＝4﹣4a2＝4（1﹣a）（1+a），

①當0＜a＜1時，此時△＞0．

由f'（x）＞0得，或；

由f'（x）＜0得．

所以函數f（x）單調遞增區間是和，

單調遞減區間．

②當a≥1時，此時△≤0．所以f'（x）≥0，

所以函數f（x）單調遞增區間是（﹣∞，+∞）．

③當﹣1＜a＜0時，此時△＞0．

由f'（x）＞0得；

由f'（x）＜0得，或．

所以當﹣1＜a＜0時，函數f（x）單調遞減區間是和，

單調遞增區間．

④當a≤﹣1時，此時△≤0，f'（x）≤0，所以函數f（x）單調遞減區間是（﹣∞，+∞）．