Question

直線l:y=kx+1 與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同兩點A 、B ．  
（1）求實數k的取值范圍；  
（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線右焦點F?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1,    
整理得（k² -2）x² +2kx+2 =0，    ①    
依題意，直線與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同兩點    A、B，
∴
解得k的取值范圍是
（2）設A、B兩點的坐標分別是（x₁，y₁）、(x₂，y₂)，
則由①式得
假設存在實數k使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線右焦點F（c，0），
則由FA⊥FB得（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+(k-c)（x₁+x₂）+c²+1=0，    ③
把②式及代入③式化簡得
解得或
又不符合，所以舍去．
可知可使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線的右焦點F