Question

【2012高考真題湖南理21】（本小題滿分13分）

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值.

（Ⅰ）求曲線C₁的方程；

（Ⅱ）設(shè)P(x₀,y₀)（y₀≠±3）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.

Answer 1

（Ⅰ）解法1 ：設(shè)M的坐標為，由已知得

，

易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是，所以

.

化簡得曲線的方程為.

解法2 ：由題設(shè)知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為.

（Ⅱ）當點P在直線上運動時，P的坐標為，又，則過P且與圓

相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.于是

整理得

        ①

設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，故

      ②

由得     ③

設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標分別為，則是方程③的兩個實根，所以

    ④

同理可得

     ⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，當P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400.

【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問設(shè)出切線方程，把直線與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點縱坐標之積為定值，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.