Question

已知函數f(x)=alnx-

1

x

，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=1，且x≥2時，證明：f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）導數在切點處的導數值是切線斜率，垂直的直線斜率互為負倒數．
（Ⅱ）導數大于0，對應區間為單調遞增區間；導數小于0，對應區間為單調遞減區間
（Ⅲ）用導數研究函數的單調性，求函數的最值，證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于f′(x)=

ax+1

x2

．
當a≥0時，對于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定義域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函數．
當a＜0時，由f'（x）=0，得x=-

1

a

∈(0，+∞)．
當x∈(0，-

1

a

)時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈(-

1

a

，+∞)時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
（Ⅲ）當a=1時，f(x-1)=ln(x-1)-

1

x-1

x∈[2，+∞）．
令g(x)=ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5．g′(x)=

1

x-1

+

1

(x-1)2

-2=-

(2x-1)(x-2)

(x-1)2

．
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）單調遞減．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒為負．
所以當x∈[2，+∞）時，g（x）≤0．
即ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5≤0．
故當a=1，且x≥2時，f（x-1）≤2x-5成立．

點評：本題考查導數的幾何意義；切點處的導數為切線斜率；用導數求單調區間：導數大于0，對應區間為單調遞增區間；導數小于0，對應區間為單調遞減區間；用導數求最值，證明不等式．