Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，左、右焦點分別在軸上，離心率為，在其上有一動點，到點距離的最小值是1.過作一個平行四邊形，頂點都在橢圓上，如圖所示.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）判斷能否為菱形，并說明理由.

（Ⅲ）當的面積取到最大值時，判斷的形狀，并求出其最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）不能，理由見解析；（III）矩形，且最大值為.

【解析】

試題分析：（I）依題意有，解得，所以橢圓方程為；（II）令直線的方程為，，聯立直線的方程和橢圓方程，利用根與系數關系，計算，此方程無實數解，故不成立，所以不存在菱形；（III）由題，而，由（2）根與系數關系可求得面積的表達式，再利用基本不等式計算得面積的最大值為，此時四邊形為矩形.

試題解析：

（Ⅰ）依題，令橢圓的方程為，

所以離心率，即.

令點的坐標為，所以，焦點，即

，（沒有此步，不扣分）

因為，所以當時，，

由題，結合上述可知，所以，

于是橢圓的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如圖，直線不能平行于軸，所以令直線的方程為，

聯立方程，，

得，

所以，.

若是菱形，則，即，于是有，

又，

所以有，

得到，可見沒有實數根，故不能是菱形.

（Ⅲ）由題，而，又

即，

由（Ⅱ）知.

所以，，

因為函數，在時，，

即得最大值為6，此時，也就是時，

這時直線軸，可以判斷是矩形.