Question

如果函數滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數稱為N函數.
例如：就是N函數.
（Ⅰ）判斷下列函數：①，②，③中，哪些是N函數？（只需寫出判斷結果）；
（Ⅱ）判斷函數是否為N函數，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：對于任意實數，函數都不是N函數.
（注：“”表示不超過的最大整數）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函數；（Ⅲ）略

試題分析：（Ⅰ）的定義域為時，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數 。的定義域為時，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數。當時，所以是N函數。（Ⅱ）因為“”表示不超過的最大整數，所以。設，則，所以，解得，因為所以在一定存在正整數，即存在滿足（Ⅲ）需對實數在全體實數范圍內進行討論。若為負時，函數不是N函數；若函數有最大值時，函數不是N函數；若函數的值是正數但不能取到所有正數時，函數不是N函數。
試題解析：解：（Ⅰ）只有是N函數.                   3分
（Ⅱ）函數是N函數.
證明如下：
顯然，，.                 4分
不妨設,
由可得，
即.
因為，恒有成立，
所以一定存在，滿足，
所以設，總存在滿足，
所以函數是N函數.                    8分
（Ⅲ）（1）當時，有，
所以函數都不是N函數.                 9分
（2）當時，① 若，有，
所以函數都不是N函數.       10分
② 若，由指數函數性質易得，
所以，都有
所以函數都不是N函數.        11分
③ 若，令，則，
所以一定存在正整數使得 ，
所以，使得，
所以.
又因為當時，,所以；
當時，,所以，
所以，都有，
所以函數都不是N函數.      13分
綜上所述，對于任意實數，函數都不是N函數.