Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）判斷方程在內的解的個數，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方程在上有3個解；證明見解析。

【解析】

（1）根據直線的切線方程，可得斜率即過的定點坐標，對函數求導，代入橫坐標即可求得參數a；將橫坐標帶入原函數即可求得b，即得解析式。

（2）令，對求導，并可知，，根據零點存在定理及單調性可知在上只有一個零點。同理，討論在各區間的端點符號及單調性即可判斷零點情況。

（1）直線的斜率為，過點

，則，即

所以

（2）方程在上有3個解。

證明：令，

則

又，，

所以在上至少有一個零點

又在上單調遞減，故在上只有一個零點，

當時，，故，

所以函數在上無零點.

當時，令，，

所以在上單調遞增，，

所以，使得在上單調遞增，在上單調遞減.

又，，所以函數在上有2個零點.

綜上，方程在上有3個解.