Question

如圖，橢圓的方程為

x2

a2

+

2y2

a2

=1(a＞0)，其右焦點為F，把橢圓的長軸分成6等分，過每個等分點作x軸的垂線交橢圓上半部于點P₁，P₂，P₃，P₄，P₅五個點，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過F點（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，知P₁與P₅，P₂與P₃分別關于y軸對稱，設橢圓的左焦點為F₁，從而|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，|P₂F|+|P₃F|=2a，|P₃F|=a，利用|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5

2

，即可求得橢圓的方程；
（2）設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，利用韋達定理，確定AB的中點的坐標，求出線段AB的垂直平分線方程，表示出m，即可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，知P₁與P₅，P₂與P₃分別關于y軸對稱
設橢圓的左焦點為F₁，則|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，同時|P₂F|+|P₃F|=2a而|P₃F|=a
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5

2

∴a=

2

∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意，F（1，0），設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程

x2

2

+y2=1
消元整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為（x₀，y₀），
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x0=

1

2

(x1+

x

2

)=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)=-

k

2k2+1

∴線段AB的垂直平分線方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
令y=0，得m=x₀+ky₀=

2k2

2k2+1

-

k2

2k2+1

=

k2

2k2+1

=

1

2+ 1 k2

由于

1

k2

＞0，∴2+

1

k2

＞2
∴0＜m＜

1

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的對稱性，考查韋達定理的運用，求出線段AB的垂直平分線方程是關鍵．