Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣ ax2 ， 且關于x的方程f（x）+a=0有三個不等的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣ ）∪（0， ）
B.（﹣ ，0）∪（ ，+∞）
C.（﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）+a=x3﹣ ax2+a，
得g′（x）=3x2﹣3ax=3x（x﹣a），
當a=0時，g′（x）≥0，函數g（x）為增函數，不合題意；
當a＜0時，x∈（﹣∞，a），（0，+∞）時，g′（x）＞0；x∈（a，0）時，g′（x）＜0．
∴x∈（﹣∞，a），（0，+∞）時，g（x）單調遞增；x∈（a，0）時，g（x）單調遞減，
∴x=a時函數有極大值為g（a）= ，x=0時函數有極小值為g（0）=a．
由 ，解得a ；
當a＞0時，x∈（﹣∞，0），（a，+∞）時，g′（x）＞0；x∈（0，a）時，g′（x）＜0．
∴x∈（﹣∞，0），（a，+∞）時，g（x）單調遞增；x∈（0，a）時，g（x）單調遞減，
∴x=0時函數有極大值為g（0）=a，x=a時函數有極小值為g（a）= ．
由 ，解得a ．
綜上，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．
故選：D．