Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=a．
（1）求證：AD⊥B₁D；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求點A₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，證明出AD⊥平面BB₁D，再根據線面垂直的性質，即可得到AD⊥B₁D；
（2）證明DE∥A₁C后，根據線面平行的判定定理，即可得到答案；
（3）根據等體積法，即VA1-AB1D=VB1-A1AD，求出棱錐體積，及底面面積，即可求出點A₁到平面AB₁D的距離

解答：解：（1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱錐，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中點，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）連接DE．AA₁=AB，四邊形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中點，又D是BC的中點，
∴DE∥A₁C，∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1-AB1D=VB1-A1AD，所以

1

3

•

1

2

•

3

2

a•

5

2

a•d=

1

3

•

1

2

•

3

2

a•a•

a

2

，
解得d=

5

5

a．（12分）

點評：本題考查空間垂直關系、平行關系的證明，根據三棱錐的體積求點到平面的距離，這是文科立體幾何試題的一般考查方式．