Question

某市現(xiàn)行出租車收費標準如下：不考慮其他因素下，每次運行起步價為（包括燃油附加費在內(nèi)）4里內(nèi)5元（不含4里），滿4里后的續(xù)程運行價為每里跳表計費1元．
（1）若某乘客坐出租車行駛了[n，n+1）（n∈N^*，n≥4）里，他應付給司機的費用（元）記作a_n，求a_n（n≥4）的表達式．
（2）令bn=

3，n=1 4，n=2 5，n=3 an，n≥4，n∈N

，構(gòu)造函數(shù)f（n）=

1

n-2+b1

+

1

n-2+b2

+…+

1

n-2+bn

，n∈N^*，n≥2，若對任意，都有恒成立，試求k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₄=6，n≥4時，{a_n}構(gòu)成等差數(shù)列，公差為1，即可求a_n（n≥4）的表達式．
（2）b_n=n+2，求出f（n），再利用作差法，確定f（n）隨n的增大而增大，可得其最小值，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）易知a₄=6，n≥4時，{a_n}構(gòu)成等差數(shù)列，公差為1，----（2分）
故當n∈N^*，n≥4時，a_n=a₄+（n-4）×1=n+2------（5分）
（2）由已知{b_n}構(gòu)成等差數(shù)列，即b_n=n+2，n∈N^*-------（6分）
故f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，-----------（8分）
f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
所以f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0-------（10分）
故f（n）隨n的增大而增大，其最小值為f(2)=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
由已知，應有k≤

7

12

，即 k∈(-∞，

7

12

]-----（13分）

點評：本題考查數(shù)列的應用，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．