Question

(本小題滿分14分)
設函數，試求函數f(x)存在最小值的充要條件，并求出相應的最小值.

Answer 1

– a2

由條件得：f (x )=，                 4分
∵a > 0,              
∴ – (1 + a )< 0, f (x )在（–∞，a）上是減函數.
如果函數f (x )存在最小值，則f (x )在[a,+ ∞)上是增函數或常數.
∴1 – a ³ 0,
得a £ 1,
又a > 0, ∴0< a £ 1.                                             5分
反之，當0< a £ 1時，
(1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函數或常數.
–(1 + a )< 0, ∴f (x )在（–∞，a）上是減函數.
∴f(x )存在最小值f（a）. 
綜合上述f (x )存在最小值的充要條件是0< a £ 1，此時f (x)min =" –" a2    3分