Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2

2

，一個邊長為2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移動到位置Ⅱ停止，若移動的距離為x，正方形和△ABC的公共部分的面積為f（x），試求出f（x）的解析式，并求出最大值．

Answer 1

分析：將一個邊長為2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移動到位置Ⅱ停止，若移動的距離為x，此時正方形和△ABC的公共部分分為三種情況，然后分別求出公共部分的面積為f（x），最后根據分段函數求最值的方法求出最值即可．

解答：解：當x∈[0，2]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=

1

2

x2
當x∈（2，4]時，正方形和△ABC的公共部分是兩個直角梯形
f（x）=4-

1

2

(x-2)2-

1

2

(4-x)2
當x∈（4，6]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=

1

2

[2-(x-4)]  2
綜上所述：f(x)=

1 2 x2 4- 1 2 (x-2)2- 1 2 (4-x)2 1 2 [2-(x-4)]2

x∈[0，2] x∈(2，4] x∈(4，6]

分析可得當x=3時，f（x）的最大值為3．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數的最值及其幾何意義，屬于中檔題．