Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且bn=

lnnx

a 2 n

，求證：對任意實數x∈（1，e]（e是常數，e=2.71828…）和任意正整數n，總有T_n＜2；
（3）正數數列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數列{c_n}中的最大項．

Answer 1

分析：（1）根據a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n-a_n-1=1進而可判斷出數列{a_n}是公差為1的等差數列，根據等差數列的通項公式求得答案．
（2）把（1）中求得的a_n代入求得的b_n通項公式，利用裂項法可證明原式．
（3）由的a_n代通項公式可分別求得c₁，c₂，c₃，c₄，猜想n≥2時，{c_n}是遞減數列令f(x)=

lnx

x

，進而進行求導，根據n≥3時，f′（x）＜0，判斷出在[3，+∞）內，f（x）為單調遞減函數，n≥2時，{lnc_n}是遞減數列，即{c_n}是遞減數列，同時c₁＜c₂，進而可知數列的最大項為c₂．

解答：解：（1）由已知，對于任意n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
所以2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②
①-②得，2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均為正數，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列
又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n（n∈N^*）
（2）證明：∵對任意實數x∈（1，e]（e是常數，e=2.71828）和任意正整數n，
總有bn=

lnnx

a 2 n

≤

1

n2

，
∴Tn≤

1

12

+

1

22

++

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)•n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2
（3）由已知a2=

c

2 1

=2，∴c1=

2

，a3=

c

3 2

=3，∴c2=

3	3

，a4=

c

4 3

=4，∴c3=

4	4

，a5=

c

5 4

=5，∴c4=

5	5

，
易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞
猜想n≥2時，{c_n}是遞減數列
令f(x)=

lnx

x

則f′(x)=

1-lnx

x2

，
∵當x≥3時，lnx＞1，則1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）內，f（x）為單調遞減函數，
由a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），知lncn=

ln(n+1)

n+1

∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數列，即{c_n}是遞減數列，
又c₁＜c₂，
∴數列{c_n}中的最大項為c2=

3	3

．

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式和等差數列的性質．考查了學生綜合分析問題的能力．