Question

【題目】如下圖，在空間多面體中，四邊形為直角梯形，， ，是正三角形，，。

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運(yùn)用面面垂直的判定定理推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用二面角的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化為平面角或運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式求解。

試題解析：

證明：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，

所以，

所以,

因?yàn)?/span>,

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面，

法一：（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，過作，過作，連接，所以是二面角的平面角，

設(shè)，

在中，，所以，

在中，，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

在中，所以，

因?yàn)?/span>，所以,

所以，

過作，則是中點(diǎn)，

所以，

在中，，

所以，即二面角的余弦值為。

法二：（Ⅱ）過作，過作，，

連接，則是正方形，

因?yàn)?/span>，所以，

所以是梯形，

過作，連接，

因?yàn)?/span>，平面，

所以，即，

則是二面角的平面角，

設(shè)，則，

在，，,

所以，，

所以，

所以二面角的余弦值為。

法三：（Ⅲ）過點(diǎn)作平面，由（Ⅰ）知：平面平面，所以平面，

以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?/span>，且，所以，

，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

，取，

同理可得平面的法向量，

所以，

因?yàn)槎�面�?/span>是鈍角，所以其余弦值是。